群論入門2章

群論入門2章の勉強メモ。

2.1　部分群

キーワード

事項

  • 群Gの部分群H1,H2,…,Hnの共通部分はGの部分群である
  • A⊂Gのとき、Gの部分群でAを含むもの全ての共通集合Hを\lt A\gtと書く
  • このとき、AがHを生成するといい、AはHの生成系である
  • \lt A \gt=\{a_{1}^{\epsilon_{1}}...a_{n}^{\epsilon_{n}}|a_{i} \in A, \epsilon_{i} = \pm 1, 1 \le i \le n, n = 1, 2, ...\}
  • 群Gが１つの元aによって生成されるとき（G=\lt a \gt）、Gを巡回群という
  • n次の交代群A_{n}は、n次の対称群S_{n}のうち偶置換全体の集合である

2.2　部分群による類別

キーワード

  • （左｜右）剰余類
  • （左｜右）類別

事項

  • a≡b(mod H)⇔b^{-1}a∈Hと定義すると、これは同値関係である
  • よって、群Gはその部分群Hによって類別できる（左剰余類）
  • Hを部分群とすると、各剰余類は、aHである。（aは剰余類の代表元）
  • 各剰余類の位数は等しい

2.3　正規部分群と剰余群

キーワード

事項

  • 任意のa∈Gに対し、aHa^{-1}=Hであるとき、HはGの正規部分群である
  • NがGの正規部分群であるとき、\overline{G}=G/Nは（C_{a}C_{b}=C_{ab}という演算の下で）群をなす
  • これを剰余群（商群）という

群Gを正規部分群Nで割った結果が剰余群G/Nである。

2.4　部分加群

  • 加群は可換群
  • b^{-1}a=ab^{-1}より、部分加群による剰余類は左右の区別が無くなる（一致する）
  • したがって、部分加群は正規部分群である