群論入門　３章　準同型・同型

第３章「準同型・同型」

3.1　定義と基本性質

準同型写像

写像してから演算しても、演算してから写像しても同じ。

自然な準同型写像

代表元を同値類に移す写像。

同型写像

準同型写像が全単射のとき、同型写像という。

核

準同型写像\phi : G_{1} \longrightarrow G_{2}について、{\rm Ker} \phi=\phi^{-1}(e_{2})を準同型写像φの核という。
核は正規部分群である。

無限巡回群はZ（整数全体のなす加群）と同型
巡回群の部分群、剰余群は巡回群

巡回群をZとすると、部分群は2Z、3Zなど。

3.2　準同型定理

準同型定理

G_{1}/{\rm Ker} \phi \stackrel{\sim}{=} {\rm Im} \phi
線形代数でこれの特殊なバージョンを習った。

3.3　加群の準同型写像・Hom(A,B)

Hom(A,B)

加群Aから加群Bへの準同型写像全体の集合。
Hom(A,B)の元σ、τについて
(σ+τ)(a)=σ(a)+τ(a)
と定義すると、Hom(A,B)は加群である。